www.sghz.net > 设幂级数Σn=0→∞AnX^n在x=2处收敛,则它在x=%1为什么是绝对收敛?

设幂级数Σn=0→∞AnX^n在x=2处收敛,则它在x=%1为什么是绝对收敛?

幂级数的性质:幂级数在(-R,R)上绝对收敛,其中R是收敛半径.由题意,收敛半径R>=2,因此在x=-1绝对收敛.

ΣAnX^n在x=-3处收敛,由阿贝尔定理,幂级数在(-3,3)内都收敛.所以令X=2有 Σ(2^n)An收敛.所以一般项 (2^n)An → 0

补充下基础知识就很简单的:先看一下阿贝尔准则:对幂级数∑(n从0到无穷大)anx^n1)若x=x0≠0时收敛,则对|x||x0|的任意x该级数发散所以∑(n从0到无穷大)anx^n 在 |x|2上发散,否则的话由1)将推断出∑(n从0到无穷大)anx^n

不确定,我可以各举一个例子:收敛:令An=(1/4)^n,则x=-2时Σ(n=0到∞)(1/4)^n=4/3,收敛,x=2时原级数=Σ(n=0到∞)(3/4)^n=4,也收敛发散:令An=(1/n)^2,则x=-2时原级数=Σ(n=0到∞)(1/n)^2,收敛,x=2时原级数=Σ(n=0到∞)(3/n)^2,.令an=(3/n)^2,因为lim(n→∞)(an/a(n-1))=lim(n→∞)3*(n-1)^2/n^2=3,从而该级数发散.

anx^n在x=2处收敛,说明它收敛半径大于等于2就是an(x-1/2)^n在x-1/2 <=2时都收敛所以x<=5/2收敛,所以x=2处肯定收敛,且x=5/2时也收敛

已知幂级数 ∑{n>=0}an(x-2)^n 在 x=0 处收敛,说明该级数的收敛半径 r >= 2,收敛区间包含了区间 [0, 4),因此该级数在 x=1 处必收敛,而在 x=-1 可能收敛也可能发散.

由已知,∑ an*2^n 收敛,∑ an*(-2)^n 发散,因此在 ∑ an*(x-3)^n 中,x=1 时发散,x=5 时收敛,所以收敛域为 (1,5] .

幂级数(n=0->无穷)an(x-5)^n在x=2处收敛,即幂级数(n=0->无穷)anx^n在x=-3处收敛,故在|x|无穷)nanx^(n-1)同样在|x|3选择:不确定

B绝对收敛.根据阿贝尔定理,当x=x0收敛时,对于所有的|x|&lt;|x0|的点,级数绝对收敛,由于|3/2|&lt;|-2|,因此结论是绝对收敛.

幂级数∑(n=0,正无穷)an(x+2)^n在x=0处收敛,在x=-4处发散幂级数∑(n=0,正无穷)anx^n的收敛域(-2,2]

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